Математикалық сипаттамасы: магниттік өрістегі зарядталған бөлшектердің орбитасы; магниттік қаттылық

Лоренцтің күші магнит өрісі \( \vec{B} \) заряд бар бөлшектердің бойынша \( q \) , массасы \(m\) және жылдамдық \( \vec{\upsilon} \) бар $$ \frac{d\vec{\upsilon}}{dt} = \frac{q}{\gamma m} \vec{\upsilon} \times \vec{B} ; . $$

\( \gamma \) Лоренцо фактор тынышлықтағы энергия үшін энергия қатынасы, яғни болып табылады \( m c^2 \). Жылдамдық магнит өрісінің векторына және жылдамдық векторына перпендикуляр болғандықтан, орбита - шеңбер (+ магнит өрісі бойынша біркелкі қозғалыс). Қозғалыс шығымы теңдеуін уақытында тұрақты тұрақты магниттік өріс үшін интегралдау, $$ \vec{\upsilon} = \vec{r} \times \frac{q \vec{B}}{\gamma m} = \vec{r} \times \vec{\Omega}_c ; . $$

Айналмалы қозғалыстың бұрыштық жиілігі \( \Omega_c = \frac{|q| |\vec{B}|}{\gamma m} \) . Демек, айналмалы орбитаның радиусы ( циклотрон радиусы) немесе Лармор радиусы ) $$ r_c = \frac{\upsilon}{\Omega_c} = \frac{\gamma m \upsilon}{|q| |\vec{B}|} = \frac{\beta \gamma m c}{|q| |\vec{B}|} =\sqrt{\gamma^2-1} \frac{m c}{|q| |\vec{B}|} ; . $$

Мұнда \( \beta \) бөлшектердің жылдамдығының жарық жылдамдығына қатынасы және \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \) . Егер магнит өрісі наноТесла (nT) -да берілген болса, онда зарядтың циклотрон радиусы болады $$ r_c = 3.1 \times 10^9 \left(\frac{B}{1 ; \mathrm{nT} }\right)^{-1} \sqrt{\gamma^2-1} ; \mathrm{m}. $$

Циклотрон радиусы зарядтың жоғарылауымен азаяды - Лоренц күші зарядқа пропорционалды екендігінің табиғи нәтижесі. Магниттік қатаңдықты енгізе отырып, оны зарядсыздық жолмен көрсете аламыз: бөлшектердің серпіні \( p=\gamma m \upsilon \) , $$ r_c = \frac{\gamma m \upsilon}{|q| |\vec{B}|} = \frac{p}{|q| |\vec{B}|} = \frac{R}{c|\vec{B}|} , $$

онда \( R:=\frac{pc}{|q|} \) магниттік қаттылық деп аталады. Бұл сан белгілі бір магнит өрісіндегі циклотрон радиусын өлшейді және сондықтан оның заряды мен массасына қарамастан магниттік өріске сезгіштігінің индикаторы болып табылады. Зарядталған бөлшектердің траекториясы магнит өрісі арқылы неғұрлым қатты иілген, неғұрлым төмен магниттік қаттылық. Егер магниттік қаттылық гига-Вольт (GV) түрінде берілсе, ғарыштық сәулелерге тән, нейтронды мониторлар анықталған жағдайда, циклотрон радиусы $$ r_c = 3.3 \times 10^9 \left(\frac{B}{1 ; \rm nT}\right)^{-1} \left(\frac{R}{1; \mathrm{GV} }\right) ; \mathrm{m}. $$

Күннің, Жердің және Жердің бетіндегі циклотрон радиустарының кейбір мысалдары (RE: Жердің радиусы, энергия мен жылдамдық осы беріктіктің протонына келтірілген):

МагниттікКинетикалықЖылдамдықЦиклотрон радиусы
қаттылықэнергия[% of c]Тәж (10 mT)Интерпланетикалық 1 AU (5 nT)Жер (беті; 30 μT)
1 ГВ0.43 ГэВ73%330 m6.6x108 м ≈ 100 RE1.1x105 м ≈ 0.017 RE
5 ГВ4.1 ГэВ98%1.65 км3.3x109 м ≈ 520 RE5.5x105 м ≈ 0.086 RE
20 ГВ19.1 ГэВ99.8%6.60 км1.3x1010 м ≈ 2100 RE2.2x106 м ≈ 0.34 RE

Previous
Next