Математикалық сипаттамасы: магниттік өрістегі зарядталған бөлшектердің орбитасы; магниттік қаттылық
Лоренцтің күші магнит өрісі \( \vec{B} \) заряд бар бөлшектердің бойынша \( q \) , массасы \(m\) және жылдамдық \( \vec{\upsilon} \) бар $$ \frac{d\vec{\upsilon}}{dt} = \frac{q}{\gamma m} \vec{\upsilon} \times \vec{B} ; . $$
\( \gamma \) Лоренцо фактор тынышлықтағы энергия үшін энергия қатынасы, яғни болып табылады \( m c^2 \). Жылдамдық магнит өрісінің векторына және жылдамдық векторына перпендикуляр болғандықтан, орбита - шеңбер (+ магнит өрісі бойынша біркелкі қозғалыс). Қозғалыс шығымы теңдеуін уақытында тұрақты тұрақты магниттік өріс үшін интегралдау, $$ \vec{\upsilon} = \vec{r} \times \frac{q \vec{B}}{\gamma m} = \vec{r} \times \vec{\Omega}_c ; . $$
Айналмалы қозғалыстың бұрыштық жиілігі \( \Omega_c = \frac{|q| |\vec{B}|}{\gamma m} \) . Демек, айналмалы орбитаның радиусы ( циклотрон радиусы) немесе Лармор радиусы ) $$ r_c = \frac{\upsilon}{\Omega_c} = \frac{\gamma m \upsilon}{|q| |\vec{B}|} = \frac{\beta \gamma m c}{|q| |\vec{B}|} =\sqrt{\gamma^2-1} \frac{m c}{|q| |\vec{B}|} ; . $$
Мұнда \( \beta \) бөлшектердің жылдамдығының жарық жылдамдығына қатынасы және \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \) . Егер магнит өрісі наноТесла (nT) -да берілген болса, онда зарядтың циклотрон радиусы болады $$ r_c = 3.1 \times 10^9 \left(\frac{B}{1 ; \mathrm{nT} }\right)^{-1} \sqrt{\gamma^2-1} ; \mathrm{m}. $$
Циклотрон радиусы зарядтың жоғарылауымен азаяды - Лоренц күші зарядқа пропорционалды екендігінің табиғи нәтижесі. Магниттік қатаңдықты енгізе отырып, оны зарядсыздық жолмен көрсете аламыз: бөлшектердің серпіні \( p=\gamma m \upsilon \) , $$ r_c = \frac{\gamma m \upsilon}{|q| |\vec{B}|} = \frac{p}{|q| |\vec{B}|} = \frac{R}{c|\vec{B}|} , $$
онда \( R:=\frac{pc}{|q|} \) магниттік қаттылық деп аталады. Бұл сан белгілі бір магнит өрісіндегі циклотрон радиусын өлшейді және сондықтан оның заряды мен массасына қарамастан магниттік өріске сезгіштігінің индикаторы болып табылады. Зарядталған бөлшектердің траекториясы магнит өрісі арқылы неғұрлым қатты иілген, неғұрлым төмен магниттік қаттылық. Егер магниттік қаттылық гига-Вольт (GV) түрінде берілсе, ғарыштық сәулелерге тән, нейтронды мониторлар анықталған жағдайда, циклотрон радиусы $$ r_c = 3.3 \times 10^9 \left(\frac{B}{1 ; \rm nT}\right)^{-1} \left(\frac{R}{1; \mathrm{GV} }\right) ; \mathrm{m}. $$
Күннің, Жердің және Жердің бетіндегі циклотрон радиустарының кейбір мысалдары (RE: Жердің радиусы, энергия мен жылдамдық осы беріктіктің протонына келтірілген):
Магниттік | Кинетикалық | Жылдамдық | Циклотрон радиусы | ||
қаттылық | энергия | [% of c] | Тәж (10 mT) | Интерпланетикалық 1 AU (5 nT) | Жер (беті; 30 μT) |
1 ГВ | 0.43 ГэВ | 73% | 330 m | 6.6x108 м ≈ 100 RE | 1.1x105 м ≈ 0.017 RE |
5 ГВ | 4.1 ГэВ | 98% | 1.65 км | 3.3x109 м ≈ 520 RE | 5.5x105 м ≈ 0.086 RE |
20 ГВ | 19.1 ГэВ | 99.8% | 6.60 км | 1.3x1010 м ≈ 2100 RE | 2.2x106 м ≈ 0.34 RE |